Lösung reduzierter quartischer Gleichungen nach Faucette

Von W. M. Faucette stammt ein Verfahren zur Lösung reduzierter quartischer Gleichungen. Diese haben die Form z⁴ + p z² + q z + r = 0.

Wenn die Nullstellen der Gleichung z1, z2, z3 und z4 sind, dann definiert man

  α = (z1 + z2) (z3 + z4)
  β = (z1 + z3) (z2 + z4)
  γ = (z1 + z4) (z2 + z3)
  h(x) = (x - α) (x - β) (x - γ).

Anschließend multipliziert man aus

  h(x) = x³ - (α + β + γ) x² + (α β + α γ + β γ) x - α β γ

und kann schließlich unter Verwendung der Koeffizienten der reduzierten quartischen Gleichung

  h(x) = x³ - 2 p x² + (p² - 4 r) x + q²

schreiben. Das ist die sogenannte kubische Resolvente.

Diese transformiert man in eine reduzierte Form und löst sie dann z.B. mit dem Verfahren von Ferro (siehe Lösung reduzierter kubischer Gleichungen nach Ferro).

Die Nullstellen von h sind per Definition α, β und γ. Aus diesen ergeben sich die Lösungen der reduzierten quartischen Gleichung als

  z = 1/2 (√-α + √-β + √-γ).

Hierbei sind auch die komplexen oder negativen Quadratwurzeln zu berücksichtigen. Aus den acht möglichen Kombinationen der Wurzeln filtert man anhand der Bedingung

  q = - √-α √-β √-γ

und erhält schließlich vier Werte für z.


Quelle

Faucette, W. M.
"A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial"
Amer. Math. Monthly 103
p. 51-57
1996