Gegeben sind negativ-exponentialverteilte Zwischenankunftszeiten und Bedienzeiten und es wird von einer einzigen Bedieneinheit (siehe Warteschlangenmodell) ausgegangen. Nun soll der Erwartungswert E[N] für die mittlere Anzahl von Aufträgen im System berechnet werden.
 
Man definiert dazu die Zustände 0, 1, 2, ... in denen das System ist, wenn 0, 1, 2,... Aufträge im System enthalten sind und berechnet dann die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten p0, p1, p2, ... für die jeweiligen Zustände.

Es gilt

λ p0 = μ p1

und deshalb

p1 = r p0

und analog

pn = r^n p0 für n > 0.

Der Erwartungswert E[N] der Aufträge im System errechnet sich zu

E[N] = p1 + 2 p2 + 3 p3 + ...
= 1 r^1 p0 + 2 r^2 p0 + 3 r^3 p0 + ...
= r p0 (1 r^0 + 2 r^1 + 3 r^2 + ...)
= r p0 (1 / (1 - r)^2).

Es ist nun noch p0 zu bestimmen. Wegen

1 = p0 + p1 + p2 + ...

und

p1 + p2 + ... = p0 (r^1 + r^2 + ...)
= p0 (1 / (1 - r) - 1)

folgt

1 = p0 + p0 (1 / (1 - r) - 1)
= p0 (1 / (1 - r))

also

p0 = 1 - r.

Zusammen ergibt sich:

E[N] = r / (1 - r).