Bewegung
Eine Abbildung der Ebene auf sich selbst ist eine Bewegung, wenn die Abbildung die folgenden Eigenschaften erfüllt:
- die Abbildung ist eine bijektive Funktion,
- die Abbildung bildet eine Halbebene auf eine Halbebene ab,
- die Abbildung bildet eine Fahne auf eine Fahne ab,
- die Abbildung bildet eine Gerade auf eine Gerade ab,
- die Abbildung bildet einen Winkel auf einen Winkel ab,
- die Abbildung bildet eine Halbgerade auf eine Halbgerade ab,
- die Abbildung bildet eine Strecke auf eine Strecke ab,
- für drei Punkte P, Q und R auf einer orientierten Geraden (siehe orientierte Gerade) mit P < Q < R oder R < Q < P (d.h. Q liegt zwischen P und R) gilt, dass auf dem Bild der orientierten Geraden das Bild von Q zwischen den Bildern von P und R liegt.
Für zwei beliebige Fahnen gibt es genau eine Bewegung, die die eine auf die andere Fahne abbildet. Für zwei Halbgeraden mit gleichem Anfangspunkt gibt es eine Bewegung, die die Halbgeraden gegenseitig aufeinander abbildet. Für zwei beliebige Punkte P und Q gibt es eine Bewegung, bei der Q dem Bild von P entspricht und P dem Bild von Q.
Verschiedenartige Bewegungen haben spezielle Namen erhalten:
- Drehung, wenn die Bewegung genau einen Fixpunkt hat,
- Verschiebung, wenn die Bewegung keinen Fixpunkt aber eine Fixgerade hat und
- Geradenspiegelung, wenn alle Punkte einer Geraden Fixpunkte sind und die Bewegung die beiden offenen Halbebenen (siehe offene Halbebene) bezüglich der Geraden miteinander vertauscht und
- Punktspiegelung, wenn alle Geraden durch einen Punkt Fixgeraden sind und die Halbgeraden bezüglich des Punkts miteinander vertauscht werden und jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade (siehe parallele Geraden) abgebildet wird.
Die Bewegungen sind bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe. Für jede Bewegung gibt es eine aquivalente Bewegung, die sich durch die Hintereinanderausführung von höchstens je einer Drehung, einer Verschiebung und einer Geradenspiegelung ergibt. Für jede Bewegung gibt es eine äquivalente Bewegung, due sich durch die Hintereinanderausführung von höchstens drei Geradenspiegelungen ergibt.
- die Abbildung ist eine bijektive Funktion,
- die Abbildung bildet eine Halbebene auf eine Halbebene ab,
- die Abbildung bildet eine Fahne auf eine Fahne ab,
- die Abbildung bildet eine Gerade auf eine Gerade ab,
- die Abbildung bildet einen Winkel auf einen Winkel ab,
- die Abbildung bildet eine Halbgerade auf eine Halbgerade ab,
- die Abbildung bildet eine Strecke auf eine Strecke ab,
- für drei Punkte P, Q und R auf einer orientierten Geraden (siehe orientierte Gerade) mit P < Q < R oder R < Q < P (d.h. Q liegt zwischen P und R) gilt, dass auf dem Bild der orientierten Geraden das Bild von Q zwischen den Bildern von P und R liegt.
Für zwei beliebige Fahnen gibt es genau eine Bewegung, die die eine auf die andere Fahne abbildet. Für zwei Halbgeraden mit gleichem Anfangspunkt gibt es eine Bewegung, die die Halbgeraden gegenseitig aufeinander abbildet. Für zwei beliebige Punkte P und Q gibt es eine Bewegung, bei der Q dem Bild von P entspricht und P dem Bild von Q.
Verschiedenartige Bewegungen haben spezielle Namen erhalten:
- Drehung, wenn die Bewegung genau einen Fixpunkt hat,
- Verschiebung, wenn die Bewegung keinen Fixpunkt aber eine Fixgerade hat und
- Geradenspiegelung, wenn alle Punkte einer Geraden Fixpunkte sind und die Bewegung die beiden offenen Halbebenen (siehe offene Halbebene) bezüglich der Geraden miteinander vertauscht und
- Punktspiegelung, wenn alle Geraden durch einen Punkt Fixgeraden sind und die Halbgeraden bezüglich des Punkts miteinander vertauscht werden und jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade (siehe parallele Geraden) abgebildet wird.
Die Bewegungen sind bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe. Für jede Bewegung gibt es eine aquivalente Bewegung, die sich durch die Hintereinanderausführung von höchstens je einer Drehung, einer Verschiebung und einer Geradenspiegelung ergibt. Für jede Bewegung gibt es eine äquivalente Bewegung, due sich durch die Hintereinanderausführung von höchstens drei Geradenspiegelungen ergibt.