Diophantische Gleichung

Eine unbestimmte Gleichung der Bauart P(X1, X2, ..., Xn) = 0, wobei P ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten mit den Variablen X1, X2, ..., Xn ist, heißt diophantische Gleichung, wenn man an ganzzahligen oder rationalen Lösungs-n-Tupeln interessiert ist.

Die Namensgebung erfolgte zu Ehren des irgendwann zwischen 100 v. Chr. und 350 n. Chr. in Alexandria wirkenden Mathematikers Diophant.

Die einfachste diophantische Gleichung ist a X - b = 0. Sie ist lösbar, falls a = 0 und b = 0, dann ist jede ganze Zahl X eine Lösung. Falls a ≠ 0, hat die Gleichung nur dann eine Lösung, wenn a ein Teiler von b ist. Die Lösung ist in diesem Fall X = b / a.

Die nächst kompliziertere Gleichung ist a X1 + b X2 - c = 0. Deren nicht triviale Lösungen sind X1 = (c p + b t) / ggT(a, b) und X2 = (c q - a t) / ggT(a,b) mit t aus den ganzen Zahlen. p und q sind die mit dem auf a und b angewendeten euklidischen Algorithmus (siehe euklidischer Algorithmus) bestimmten Zahlen pn+1 und qn+1.