Jacobi-Matrix
Für Funktionen F: Rn -> Rm fasst man die partiellen Ableitungen in einer Matrix JF(x) zusammen. Es gilt JF(x)[i,j] := dFi(x) / dxj. Diese Matrix heißt Jacobi-Matrix.
Für den Spezialfall F: Rn -> R ergibt sich ein Zeilenvektor. Den zugehörigen transponierten Spaltenvektor nennt man Gradient grad(x) von F an der Stelle x.
Der Gradient ist der Vektor des stärksten Anstiegs im Punkt x. Mit Hilfe des Gradienten lässt sich die Ableitung der Funktion F in jeder beliebigen Richtung r berechnen. Die Ableitung der Funktion F in Richtung des Vektors r ist r * grad(x) / |r|. Dabei ist |r| die Länge des Vektors r.
Die partielle Ableitung dFi(x)/dxj erhält man als Grenzwert von z gegen 0 von (F(x + z * ej)[i] - F(x)[i]) / z. Hierbei ist ej der Vektor, der in der j-ten Komponente gleich 1 ist und sonst nur mit 0 besetzt ist.
Für den Spezialfall F: Rn -> R ergibt sich ein Zeilenvektor. Den zugehörigen transponierten Spaltenvektor nennt man Gradient grad(x) von F an der Stelle x.
Der Gradient ist der Vektor des stärksten Anstiegs im Punkt x. Mit Hilfe des Gradienten lässt sich die Ableitung der Funktion F in jeder beliebigen Richtung r berechnen. Die Ableitung der Funktion F in Richtung des Vektors r ist r * grad(x) / |r|. Dabei ist |r| die Länge des Vektors r.
Die partielle Ableitung dFi(x)/dxj erhält man als Grenzwert von z gegen 0 von (F(x + z * ej)[i] - F(x)[i]) / z. Hierbei ist ej der Vektor, der in der j-ten Komponente gleich 1 ist und sonst nur mit 0 besetzt ist.