Längenfunktional
Ein Längenfunktional ordnet einer Länge eine reelle Zahl zu. Für jedes Längenfunktional ℓ werden die Eigenschaften Bewegungsinvarianz, Additivität und Normiertheit gefordert:
- Wenn die Strecke PQ kongruent (siehe kongruente Punktmengen) zur Strecke RS ist, dann gilt ℓ(|PQ|) = ℓ(|RS|).
- Wenn P, Q und R Punkte auf einer orientierten Geraden (siehe orientierte Gerade) sind mit P < Q < R oder R < Q < P, dann gilt ℓ(|PQ|) + ℓ(|QR|) = ℓ(|PR|).
- Es gibt eine Strecke PQ mit ℓ(|PQ|) = 1.
Weitere Eigenschaften können gefolgert werden:
- Für zwei beliebige Punkte P und Q gilt ℓ(|PQ|) = ℓ(|QP|).
- Für drei beliebige Punkte P, Q und R gilt ℓ(|PQ|) + ℓ(|QR|) >= ℓ(|PR|).
- Eine Punktmenge {P, Q, R} ist genau dann kollinear (siehe kollineare Punktmenge), wenn entweder ℓ(|PQ|) + ℓ(|QR|) = ℓ(|PQ|) oder ℓ(|PR|) + ℓ(|RQ|) = ℓ(|PQ|) oder ℓ(|QP|) + ℓ(|PR|) = ℓ(|QR|) gilt.
- Wenn die Strecke PQ kongruent (siehe kongruente Punktmengen) zur Strecke RS ist, dann gilt ℓ(|PQ|) = ℓ(|RS|).
- Wenn P, Q und R Punkte auf einer orientierten Geraden (siehe orientierte Gerade) sind mit P < Q < R oder R < Q < P, dann gilt ℓ(|PQ|) + ℓ(|QR|) = ℓ(|PR|).
- Es gibt eine Strecke PQ mit ℓ(|PQ|) = 1.
Weitere Eigenschaften können gefolgert werden:
- Für zwei beliebige Punkte P und Q gilt ℓ(|PQ|) = ℓ(|QP|).
- Für drei beliebige Punkte P, Q und R gilt ℓ(|PQ|) + ℓ(|QR|) >= ℓ(|PR|).
- Eine Punktmenge {P, Q, R} ist genau dann kollinear (siehe kollineare Punktmenge), wenn entweder ℓ(|PQ|) + ℓ(|QR|) = ℓ(|PQ|) oder ℓ(|PR|) + ℓ(|RQ|) = ℓ(|PQ|) oder ℓ(|QP|) + ℓ(|PR|) = ℓ(|QR|) gilt.