Scipione del Ferro fand Ende des 15. Jahrhunderts einen Lösungsweg für reduzierte kubische Gleichungen. Veröffentlicht wurde das Verfahren in erweiterter Form von Gerolamo Cardano in seinem Buch "Ars magna de Regulis Algebraicis" aus dem Jahr 1545.

Die reduzierte kubische Gleichung hat die Form z³ + p z + q = 0.

Für die Lösung beginnt man mit einer wahren Aussage und formt dann um, bis man die sogenannte quadratische Resolvente erreicht:

  z³ - z³ = 0
  z³ - (u + v)³ = 0 # Substitution z = u + v
  z³ - (u³ + 3 u² v + 3 u v² + v³) = 0 # Binomischer Lehrsatz
  z³ - 3 u v (u + v) - u³ - v³ = 0 # Kommutativ und Distributivgesetze
  z³ - 3 u v z - u³ - v³ = 0 # Substitution u + v = z

  p = - 3 u v # Koeffizientenvergleich mit z³ + p z + q = 0
  q = - u³ - v³ # Koeffizientenvergleich mit z³ + p z + q = 0

  p³ = - 27 u³ v³ # 3.te Potenz
  - p³ / 27 = u³ v³ # Division durch - 27

  h(x) = (x - u³) (x - v³) # Definition
  h(x) = x² + (- u³ - v³) x + u³ v³ # Ausmultiplizieren, Satz von Vieta
  h(x) = x² + q x - p³ / 27 # Übernahme der Gleichungen von oben

Die letzte Gleichung ist die quadratische Resolvente. Diese löst man nach x auf und erhält zwei Nullstellen x1 und x2. Aus diesen kann man anhand von

  u³ = x1 # Definition von h
  v³ = x2 # Definition von h

je drei Lösungen für u und v errechnen. Hierbei sind auch die komplexen Kubikwurzeln zu berücksichtigen.

Aus den neun möglichen Kombinationen der u und v filtert man anhand der Bedingung

  p = - 3 u v # Übernahme der Gleichung von oben

und erhält schließlich drei Lösungen für z:

  z = u + v # Übernahme der Gleichung von oben


Quellen

http://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro
http://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano
http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln