Lineares Ausgleichsproblem

Als lineares Ausgleichsproblem (engl.: linear least squares problem) wird die Minimierungsaufgabe

  minimiere | A x - y | mit einer Matrix A und zwei Vektoren x und y

verstanden.

Derartige Aufgabenstellungen tauchen in der Praxis relativ häufig auf. Ein Beispiel ist das folgende Problem: Gegeben sind m Wertepaare (xi, yi) und gesucht ist ein Polynom (n-1)sten Grades, welches in minimalem Abstand zu den durch die Wertepaare definierten Punkten verläuft.

Numerisch löst man das Problem, indem eine QR-Zerlegung (z.B. mit der QR-Zerlegung nach Givens) der Matrix berechnet wird. Das bedeutet, das alle unter der Diagonalen liegenden Elemente der Matrix zu Null gemacht werden. Dabei verändern sich natürlich auch die Werte des y-Vektors.

Aus der resultierenden Dreiecksmatrix und den veränderten y-Werten lassen sich durch Rückwärtseinsetzen die Koeffizienten des Polynoms bestimmen.


Quelle

Jochen Werner
"Numerische Mathematik 1"
ISBN 3-528-07232-6
Kapitel 1.5 Die QR-Zerlegung
Kapitel 1.6 Lineare Ausgleichsprobleme